یکی از شاخههای مهم و تخصصی علم مهندسی، شناسایی مشخصات فیزیکی و هندسی درون اجسام است. از مسائل شناسایی میتوان به شناسایی مدول الاستیسیته و نسبت پواسون مربوط به ناخالصیهای درون اجسام، شکل و موقعیت ریز حفرهها، مرز بین اجسام ناهمگن و غیره اشاره کرد. روشهای غیر مخربی مانند تست رادیوگرافی به دلیل هزینه بالا برای تولیدات در حجم زیاد، اقتصادی نمیباشند و استفاده از روشهای دیگر همچون تستهای غیر مخرب همچون آزمایش کشش، انتقال حرارت، ارتعاشات و غیره امروز رو به توسعه است. از آنجا که طبیعت حاکم بر این گونه مسائل غیر خطی و بدخیم میباشد، از ترکیب یک روش عددی برای حل معادله دیفرانسیل حاکم بر مساله و روشهای دیگر برای بهینه کردن تابع معکوس استفاده می شود.
همانطور که در بالا اشاره شد همواره یکی از تلاش های مهندسین تعیین ساختار داخلی اجسام به روشهای غیر مخرب بوده است که به واسطه پیچیدگی ذاتی، تحلیل مشخصات درونی مواد معمولا با بهره گرفتن از تقریبات متعدد انجام می شود. روشهای مختلفی برای شناسایی ساختار درونی مواد وجود دارد که از کاربردهای این روشها میتوان به تخمین مدول الاستیسیته، تخمین خرابی در جسم جامد الاستیک و آشکار سازی حفره زیر سطح اشاره نمود.
مهمترین مزیت روش المانهای مرزی در مقایسه با سایر روشهای عددی این است که معادلات انتگرالی حاصل، معادلات انتگرالی مرزی بوده لذا حل آنها تنها نیازمند افراز نمودن مرز مساله میباشد این در مقایسه با روشهای دیگر همچون المان محدود و تفاضل محدود که نیازمند افراز نمودن کل دامنه میباشند باعث کاهش بعد مسئله شده و به طور موثری کارایی محاسباتی را بالا میبرد. به عبارت دیگر در روش المانهای مرزی مسائل دو بعدی و سه بعدی به ترتیب به مسائل یک بعدی و دو بعدی تبدیل میشوند.
در تحقیق حاضر، ابتدا معادلات الاستیسیته دو بعدی با روش المانهای مرزی [1] حل شده است. اولین گام در حل این معادلات بدست آوردن شکل تابع وزن میباشد. جهت بدست آوردن شکل تابع وزن از تابع دلتای دیراک کمک گرفته شده است. این تابع وزن را اصطلاحاً تابع گرین مساله نیز مینامند. با بدست آوردن شکل تابع وزن و تبدیل کلیه انتگرالهای دامنهای به انتگرالهای مرزی با بهره گرفتن از انتگرال گیری جزء به جزء ، شکل نهایی انتگرالهای مرزی بدست آمده و بعد از آن نسبت به حل معادلات انتگرال مرزی اقدام شده است. با توجه به هندسه ناحیه حل و المان بندی مسئله تعداد 4*N معادله بدست میآید(N تعداد المان) که این تعداد در روش اختلاف محدود N^2 است. با حل این انتگرالهای مرزی برای المانهای انتخاب شده روی مرز دامنه مورد بررسی، جواب کلی معادله بدست میآید. تنها موردی که کاربرد این روش را مشکل مینماید یافتن شکل تابع گرین در هر مساله جدید میباشد.
برای حل معادله انتگرال مرزی ضمن گسسته کردن معادله، از روش قدم برداری زمانی با گام پیوسته استفاده شده است. در روش قدم برداری زمانی با گام پیوسته، زمان اولیه انتگرال گیری t0 فرض می شود و سپس برای هر گام زمانی انتگرال گیری لازم از معادلات انجام می شود. لازم به توضیح است که انتگرال گیری برای زمانهای بعد مجدداً از زمان t0 شروع می شود.
در ادامه باید ابتدا به حل مستقیم مسئله الاستیسیته دو بعدی به روش المان مرزی با بهره گرفتن از نوشتن کد کامپیوتری پرداخته و بعد از حل مستقیم، به حل معکوس معادله الاستیسیته دو بعدی پرداخته می شود. در حل مسائل مستقیم، معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) عموما با مشخص بودن شرایط مرزی، شرایط اولیه و تمام مقادیر ثابت مربوط به خواص فیزیکی و شکل هندسی ماده در معادلات حاکم، برای یک دامنه معین حل میشوند. در مساله معکوس یک یا چند پارامتر که مربوط به مقادیر ثابت در شرایط مرزی، اولیه یا فیزیک مسئله هستند مجهول میباشند که با بهره گرفتن از انتگرال گیری متغیرهای وابسته روی کرانه دامنه مذکور و با بهره گرفتن از روش بهینه سازی این پارمترهای مجهول تخمین زده میشوند.
مسائل مستقیم جزء مسائل خوش وضع[15] هستند.یک مسئله خوش وضع نامیده می شود اگر دارای سه شرط زیر باشند:
- یک جواب برای مساله وجود داشته باشد(شرط وجود)
- جواب مسالهکتا باشد(یکتایی)
- جواب فقط به معلومات مساله وابسته باشد(پایداری)
-
خرید اینترنتی فایل کامل :
-
مسائل معکوس جزء مسائل بد وضع طبقه بندی میشوند و حداقل یکی از شرایط فوق را ندارد.
روشهای بهینه سازی متعددی برای حل مسایل معكوس وجود دارد. از رایجترین و قدیمیترین روش های بهینه سازی، روشهای محلی است كه عمدتاً بر مبنای گرادیان تابع هدف كار میكنند. با توجه به سرعت همگرایی بالا و تخمین خوب مقادیر مجهول عیب اصلی این روشها گیر افتادن در نقاط بهینه محلی و عدم حركت این الگوریتمهاست .معمولا حدس اولیه مناسب و نزدیک به جواب راهكار مناسبی برای حل این مشكل میباشد . علاوه بر این مسائل معكوس طراحی كه به منظور تخمین هندسه انجام می شود، بد وضع[16] بوده و به شدت به خطاهای ورودی حساس میباشند كه برای رفع این مشكل از توابع تنظیم استفاده می شود. روشهای تنظیم متعددی برای حل مسائل معكوس وجود دارد كه از مهمترین آنها میتوان روش تنظیم تیخونوف [3] و روش تنظیم بك [4] را نام برد . گر چه هر كدام از این روش ها دارای مزایایی است، ولی هیچ یک به طور قطعی موثر واقع نشده است.
از دیگر روشهای بهینه سازی روشهای همگانی هستند كه معمولا تصادفی بوده و با مقدار مستقیم تابع هدف سرو كار دارند. الگوریتم ژنتیک در زمره روشهای همگانی و تصادفی بوده كه برای تخمین پارامترهای مجهول چه برای مسائل خطی و چه برای مسائل غیر خطی به كار می رود. در [5] هندسه و موقعیت حفره درون یک قاب دوبعدی به وسیله تلفیق سه روش المان مرزی، الگوریتم ژنتیک و گرادیان مزدوج، با آزمایش كشش بررسی شده است. در این تحقیق سازگاری روشهای الگوریتم ژنتیک و گرادیان مزدوج با روش المانهای مرزی كاملاً مشهود است . مقاله حاضر یک جسم دو بعدی با یک حفره را مورد بررسی قرار داده، ولی روش بطور كلی محدودیتی ندارد . بسط به مسائل سه بعدی و سازههای داخلی پیچیدهتر قابل بررسی می باشد .همچنین روش مطرح شده می تواند در زمینه انجام آزمایشات غیر مخرب[17] كاربردی موثر داشته باشد.
در این پروژه پس از حل مستقیم مسئله الاستیسیته دوبعدی به روش المانهای مرزی برای بدست آوردن جابهجاییها و ترکشنها، به حل معکوس مسئله پرداخته می شود. برای حل مساله معکوس از الگوریتم بهینه سازی ژنتیک استفاده می شود. این الگوریتم از یک روش بهینه سازی استفاده می کند تا ساختار محیط را به وسیله مینیمم کردن یک تابع هدف مناسب بدست آورد. این تابع هدف خطای بین داده اندازه گیری شده و داده تحلیلی را مدل می کند. نوع الگوریتم بهینه سازی تابع هدف، بهینه سازی همگانی[18] (الگوریتم ژنتیک) میباشد.
سرعت الگوریتم محلی نسبت به نوع همگانی بیشتر است. در صورتی که این الگوریتم به درستی مقداردهی نشود ممکن است در مینیمم محلی گیر بیفتد که در این صورت الگوریتم به جواب نادرست میرسد. برای رفع مشکلات الگوریتم محلی از الگوریتم بهینه سازی همگانی (الگوریتم ژنتیک) استفاده می شود. این روش مزیتهایی از قبیل توانایی جستجوی قوی، سادگی، تطبیق پذیری و غیر حساس بودن به حالت بد وضعی را دارا میباشد. در عوض معایبی دارد از جمله اینکه نیاز به زمان زیاد جهت اجرا دارد.
[1] Elastostatic
[2] Boundary element method
[3] Genetic Algorithm
[4] Conjugate Gradient Method
[5] Simplex
[6] Tractions
[7] -Multi-Modality
[8] Ill pose
[9] Local optimization
[10] Finite difference method(FDM)
[11] Finite volume method(FVM)
[12] Finite element method(FEM)
[13] Boundary element method(BEM)
[14] Partial Differential Equation)PDE(
[15] Well pose
[16] Ill pose
[17] Nondestructive Test
[18] Global optimization